Cas des suites monotones

Théorème  

1. Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$ .
2. Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\mathrm{\infty }$ .

Démonstration

1. Soit  $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Soit $A\in \mathbb{R}$ .
$A$  n'est pas un majorant, donc il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que $u_{n_0}⩾A$ .
Comme $(u_n)$ est croissante, pour tout entier naturel $n⩾n_0$ , on a $u_n⩾u_{n_0}$ .
Ainsi, pour tout entier naturel   $n⩾n_0$ , on a $u_n⩾u_{n_0}⩾A$ .
L'intervalle $[A;+\mathrm{\infty }[$ contient bien tous les $u_n$ à partir d'un certain rang donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$

2. La démonstration s'effectue de façon analogue.